Hotel de Hilbert

O hotel de Hilbert ten infinito número de cuartos, numerados 1,2,3,4,... O hotel está cheo, todos os cuartos están ocupados. Chega un novo hóspede. Terá sitio no hotel?
Como o hotel ten un número infinito de cuartos, o xerente do hotel pide a todos os hóspedes que se muden para o número seguinte de cuarto: o hóspede do cuarto número n múdase para o cuarto número n+1. Así, o novo hóspede cabe no cuarto 1. Todos os que estaban no hotel continúan hospedados.  Ou sexa, a pesar do hotel estar cheo, cabe sempre un mais.
Agora supoñamos que no día seguinte chega un número infinito de hóspedes. O xerente pide a todos os hóspedes que se muden para o cuarto que teña o dobre do número do seu: o hóspede do cuarto n múdase para o cuarto 2n. Ou sexa, pasa a haber un número infinito de cuartos (os números ímpares) libres para os novos hóspedes. Todos os que estaban no hotel continúan hospedados. E os novos hóspedes tamén están agora hospedados. A pesar do hotel estar cheo, puidemos hospedar infinitos hóspedes a maiores.

Aínda co hotel cheo poderiamos hospedar a infinitos grupos de infinitos hóspedes. Podes velo neste vídeo.

Tamén sobre o infinito trata este capítulo do  programa tres14 de RTVE.